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怎么去绝对值，|x-2|<1怎么解

小知识


怎么去绝对值? 去绝对值有三种方法 。
①传统的分类讨论 。
原理：绝对值的原始定义|a|=a(a≥0)或者-a(a<0) 。 这样 ， 对绝对值里面的内容 ， 分类讨论是正是负 ， 用原始定义去掉 。
优点：普适性强 ， 对于所有的绝对值问题都可以用 。
缺点：有时候过程很长 ， 情况很多 ， 计算比较麻烦 。

这道题：绝对值里面的又m-1和m两个式子 ， 分别讨论正负 。 也就是把m分三种情况：m<0 ， 0≤m<1 ， m≥1 。
1)m<0的时候 ， m-1和m都是负的 ， 按照原始定义去掉绝对值 ， 都加负号 ， 就是1-m>-m解出不等式1>0是个恒成立的不等式 ， 因此m<0都可以 。
2)0≤m<1 ， 这时候m-1还是负的 ， 但m非负 ， 因此去掉m-1的绝对值需要加负号 ， 而去掉m不需要加 。 也就是1-m>m也就是m>1/2 ， 但是别忘了我们的大前提是0≤m<1的时候 ， 因此最终m范围应该是0≤m<1/2
3)当m≥1的时候 ， m-1、m均是非负的 ， 因此绝对值都直接去掉 。
m-1>m得到-1>0又是个矛盾的不等式 ， 因此不合题意 。
综上 ， 范围是m<0或者0≤m<1/2 ， 也就是m<1/2 。

注：顺便说一句 ， 数学里面所有的分类讨论问题（不光是绝对值问题）的步骤
(1)按照题意分出情况1、情况2……情况n ， 它们必须“不重不漏” ， 意思是任何情况i和情况j(i≠j)不能有公共部分 ， 而且所有情况1到情况n并起来应该是你研究的问题的全部可能范围 。
比如这道题 ， 全部可能范围是m∈R（全体实数） ， 分出的情况：m<0 ， 0≤m<1 ， m≥1是3个 ， 它们满足了互相没有公共部分 ， 而且并起来就是R 。 如果你分成m≤0 ， 0≤m≤1 ， m≥1就错了 ， 因为违背了“不重”原则 ， m=0 ， m=1被重复讨论 。 还有如果分成m<0 ， 0≤m<1也错了 ， 因为违背了“不漏”原则 ， m≥1也是可能的范围 ， 没有包含进去 。
(2)之后对于每个情况i ， 求出一个解 ， 别忘了和情况i的前提条件取一个交集 ， 才是这种情况下的最终解s[i] 。 比如这道题第2情况 ， 你要是算出m<1/2以后不和大前提0≤m<1取交集 ， 就错了 。
(3)全部问题的最终解是把所有单一情况下的最终解求并集∪s[i] 。
注意 ， 我上面说的错的情况 ， 最终算出的答案也许都对 ， 但是数学思维严谨性上就不对了 ， 或者这道题对但是其他题就不一定了 。

②（终于第二种去绝对值的方法了）平方法 。
原理：绝对值的等价定义|a|=√a2 ， 或者|a|2等价于a2 。
优点：直接去除绝对值 。
缺点：普适性差 ， 只能用于等式或不等式两边只有1个绝对值式子的情况 。
这道题：|m-1|>|m|等价于(m-1)2>m2等价于m2-2m+1>m2也就是-2m+1>0 ， m<1/2直接就算出来了 。
注：如果改一下题 ， 是2|m-1|>|m|还能这样两边平方算 。 再改一下|m-1|>|m|+m这就不能两边平方了 ， 去不掉绝对值 ， 而且不等价 。 可见这种方法虽然简单 ， 但是普适性差 。

③几何法 。
原理：绝对值的几何意义 ， 是表示数轴上的点与原点之间的距离 。 那么|a-b|就表示数轴上点a到b的距离 。
优点：形象直观 ， 处理简单问题很方便 。
缺点：普适性最差 ， 比②还差 ， 只能处理很小的一部分问题 。
这道题：问的就是数轴上到1的距离比到原点距离大的点有哪些？楼主自己画个数轴 ， 很容易看出只要m在1和0的中点1/2的左边 ， 一定能满足 ， 也就是m<1/2直接就观察出来了 。
注：改一下题 ， 就算2|m-1|>|m|用几何法就不好看了 ， 何况更复杂一点的|m-1|>|m|+m就更不行了 。 但是这些更复杂的形式 ， 用第一种分类讨论法都可以解 。

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